Robert Klopstock wurde am 31. Oktober 1899 in der Kleinstadt Dombovár südlich des Plattensees geboren; die Eltern waren jüdischer Abstammung. Von 1912 bis 1917 besuchte er das Humanistische Gymnasium in Budapest, danach wurde er zum Kriegsdienst eingezogen und einem Sanitätskorps zugeteilt. Gleichzeitig war er an der Medizinischen Fakultät in Budapest eingeschrieben.
Während seines Dienstes an der Ostfront und in Italien zog sich Klopstock eine Tuberkulose zu, die ihn dazu zwang, das Medizinstudium abzubrechen und ein Sanatorium aufzusuchen. So lernte er Anfang 1921 im Sanatorium Matliary in der Hohen Tatra den Mitpatienten Franz Kafka kennen. Es entwickelte sich eine intensive Freundschaft, bei der Klopstock die Rolle eines sozialen Mittlers einnahm, während Kafka bei der Immatrikulation an der Prager Universität behilflich war und gleichzeitig die literarischen Ambitionen Klopstocks förderte (insbesondere Übersetzungen aus dem Ungarischen ins Deutsche). In Prag wurde Klopstock eine Zeitlang von Kafkas Familie beherbergt.
Ob Klopstock Kafka in dessen letztem Lebensjahr in Berlin besuchte, ist unklar. Er betreute ihn jedoch — gemeinsam mit Dora Diamant — in den letzten Wochen, die er in einem Sanatorium in Kierling verbrachte. Wahrscheinlich ist, dass Klopstock durch die Gabe von Morphium auch Kafkas Sterben erleichterte.
1928 schloss Klopstock sein Medizinstudium in Berlin ab und wurde Assistenzarzt in der chirurgischen Abteilung der Charité. 1929 wurde er Arzt in einer auf Tuberkulose spezialisierten Klinik in Sommerfeld, im selben Jahr heiratete er die ebenfalls aus Ungarn stammende Lehrerin Giselle Deutsch (geb. 1902). 1933 emigrierte das Paar von Berlin nach Budapest. 1938 gelang aufgrund der Vermittlung von Klaus und Thomas Mann auch die Emigration in die USA. 1945 wurden Giselle und Robert Klopstock amerikanische Staatsbürger.
Nach dem Krieg machte Klopstock Karriere als Spezialist für Lungenchirurgie; er lehrte in New York und hatte auch eine eigene Praxis. 1958 trat er zum Christentum über. Er starb am 15. Juni 1972.
Literatur: Kafkas letzter Freund. Der Nachlaß Robert Klopstock (1899–1972). Mit kommentierter Erstveröffentlichung von 38 teils ungedruckten Briefen Franz Kafkas. Bearbeitet von Christopher Frey und Martin Peche, herausgegeben von Hugo Wetscherek. Mit Beiträgen von Leonard M. Fiedler und Leo A. Lensing. Wien (Inlibris) 2003.